Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49760 / 82528
↖ ↑ ↗
← S 42.228518°
W 43.330078°		 ← 226.16 m → S 42.228518°
W 43.327331°		 →
↑
226.11 m
↓
↑
226.11 m
↓
S 42.230551°
W 43.330078°		 ← 226.15 m →
51 135 m²		 S 42.230551°
W 43.327331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379642486572266 y=0.629642486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379642486572266 × 217)
    floor (0.379642486572266 × 131072)
    floor (49760.5)     		tx = 49760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629642486572266 × 217)
    floor (0.629642486572266 × 131072)
    floor (82528.5)     		ty = 82528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49760 / 82528 ti = "17/49760/82528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49760/82528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49760 ÷ 217
    49760 ÷ 131072     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82528 ÷ 217
    82528 ÷ 131072     		y = 0.629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814543798343994))-π/2
    2×atan(0.442841306223549)-π/2
    2×0.416884830355363-π/2
    0.833769660710726-1.57079632675     		φ = -0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49760 KachelY 82528 -0.75625253 -0.73702667 -43.330078 -42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 49761 KachelY 82528 -0.75620459 -0.73702667 -43.327331 -42.228518
    Unten links KachelX 49760 KachelY + 1 82529 -0.75625253 -0.73706216 -43.330078 -42.230551
    Unten rechts KachelX + 1 49761 KachelY + 1 82529 -0.75620459 -0.73706216 -43.327331 -42.230551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73702667--0.73706216) × R
    3.54900000000269e-05 × 6371000     		dl = 226.106790000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73702667--0.73706216) × R
    3.54900000000269e-05 × 6371000     		dr = 226.106790000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75620459) × cos(-0.73702667) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 226.158650221602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75620459) × cos(-0.73706216) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.740446319055045 × 6371000     		du = 226.151364928039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73702667)-sin(-0.73706216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.740446319055045)×R²
    abs(-0.75620459--0.75625253)×2.38529128649967e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38529128649967e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38529128649967e-05×40589641000000     		ar = 51135.1828106079m²