Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49791 / 82559
↖ ↑ ↗
← S 42.291533°
W 43.244934°		 ← 225.89 m → S 42.291533°
W 43.242188°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
S 42.293564°
W 43.244934°		 ← 225.88 m →
51 030 m²		 S 42.293564°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379878997802734 y=0.629878997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379878997802734 × 217)
    floor (0.379878997802734 × 131072)
    floor (49791.5)     		tx = 49791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629878997802734 × 217)
    floor (0.629878997802734 × 131072)
    floor (82559.5)     		ty = 82559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49791 / 82559 ti = "17/49791/82559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49791/82559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49791 ÷ 217
    49791 ÷ 131072     		x = 0.379875183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82559 ÷ 217
    82559 ÷ 131072     		y = 0.629875183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379875183105469 × 2 - 1) × π
    -0.240249633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75476648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629875183105469 × 2 - 1) × π
    -0.259750366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.816029842232216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75476648} λ = -0.75476648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816029842232216))-π/2
    2×atan(0.442183713333946)-π/2
    2×0.41633491953617-π/2
    0.832669839072341-1.57079632675     		φ = -0.73812649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75476648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.244934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73812649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.291533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49791 KachelY 82559 -0.75476648 -0.73812649 -43.244934 -42.291533
    Oben rechts KachelX + 1 49792 KachelY 82559 -0.75471855 -0.73812649 -43.242188 -42.291533
    Unten links KachelX 49791 KachelY + 1 82560 -0.75476648 -0.73816195 -43.244934 -42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 49792 KachelY + 1 82560 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73812649--0.73816195) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73812649--0.73816195) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75476648--0.75471855) × cos(-0.73812649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739730547109265 × 6371000     		do = 225.885621518434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75476648--0.75471855) × cos(-0.73816195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739706685496696 × 6371000     		du = 225.878335087981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73812649)-sin(-0.73816195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739730547109265-0.739706685496696)×R²
    abs(-0.75471855--0.75476648)×2.38616125688429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38616125688429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38616125688429e-05×40589641000000     		ar = 51030.276215909m²