Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49792 / 82561
↖ ↑ ↗
← S 42.295596°
W 43.242188°		 ← 225.92 m → S 42.295596°
W 43.239441°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.297627°
W 43.242188°		 ← 225.91 m →
51 023 m²		 S 42.297627°
W 43.239441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379886627197266 y=0.629894256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379886627197266 × 217)
    floor (0.379886627197266 × 131072)
    floor (49792.5)     		tx = 49792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629894256591797 × 217)
    floor (0.629894256591797 × 131072)
    floor (82561.5)     		ty = 82561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49792 / 82561 ti = "17/49792/82561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49792/82561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49792 ÷ 217
    49792 ÷ 131072     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82561 ÷ 217
    82561 ÷ 131072     		y = 0.629890441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629890441894531 × 2 - 1) × π
    -0.259780883789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.816125716031456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816125716031456))-π/2
    2×atan(0.442141321533551)-π/2
    2×0.416299460290961-π/2
    0.832598920581923-1.57079632675     		φ = -0.73819741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73819741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.295596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49792 KachelY 82561 -0.75471855 -0.73819741 -43.242188 -42.295596
    Oben rechts KachelX + 1 49793 KachelY 82561 -0.75467061 -0.73819741 -43.239441 -42.295596
    Unten links KachelX 49792 KachelY + 1 82562 -0.75471855 -0.73823286 -43.242188 -42.297627
    Unten rechts KachelX + 1 49793 KachelY + 1 82562 -0.75467061 -0.73823286 -43.239441 -42.297627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73819741--0.73823286) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73819741--0.73823286) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75467061) × cos(-0.73819741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739682822954011 × 6371000     		do = 225.91817356587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75467061) × cos(-0.73823286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73965896621106 × 6371000     		du = 225.9108871025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73819741)-sin(-0.73823286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739682822954011-0.73965896621106)×R²
    abs(-0.75467061--0.75471855)×2.38567429515779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38567429515779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38567429515779e-05×40589641000000     		ar = 51023.2372144932m²