Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49796 / 82564
↖ ↑ ↗
← S 42.301691°
W 43.231201°		 ← 225.90 m → S 42.301691°
W 43.228454°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.303722°
W 43.231201°		 ← 225.89 m →
51 018 m²		 S 42.303722°
W 43.228454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379917144775391 y=0.629917144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379917144775391 × 217)
    floor (0.379917144775391 × 131072)
    floor (49796.5)     		tx = 49796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629917144775391 × 217)
    floor (0.629917144775391 × 131072)
    floor (82564.5)     		ty = 82564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49796 / 82564 ti = "17/49796/82564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49796/82564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49796 ÷ 217
    49796 ÷ 131072     		x = 0.379913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82564 ÷ 217
    82564 ÷ 131072     		y = 0.629913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.24017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75452680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.25982666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816269526730316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75452680} λ = -0.75452680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816269526730316))-π/2
    2×atan(0.442077741452963)-π/2
    2×0.416246275712622-π/2
    0.832492551425245-1.57079632675     		φ = -0.73830378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75452680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73830378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.301691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49796 KachelY 82564 -0.75452680 -0.73830378 -43.231201 -42.301691
    Oben rechts KachelX + 1 49797 KachelY 82564 -0.75447886 -0.73830378 -43.228454 -42.301691
    Unten links KachelX 49796 KachelY + 1 82565 -0.75452680 -0.73833923 -43.231201 -42.303722
    Unten rechts KachelX + 1 49797 KachelY + 1 82565 -0.75447886 -0.73833923 -43.228454 -42.303722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73830378--0.73833923) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dl = 225.851950000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73830378--0.73833923) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dr = 225.851950000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75452680--0.75447886) × cos(-0.73830378) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.739611236475906 × 6371000     		do = 225.896309213344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75452680--0.75447886) × cos(-0.73833923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.739587376943926 × 6371000     		du = 225.889021898133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73830378)-sin(-0.73833923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739611236475906-0.739587376943926)×R²
    abs(-0.75447886--0.75452680)×2.38595319799195e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38595319799195e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38595319799195e-05×40589641000000     		ar = 51018.2990118514m²