Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49919 / 82687
↖ ↑ ↗
← S 42.551057°
W 42.893372°		 ← 225 m → S 42.551057°
W 42.890625°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.553080°
W 42.893372°		 ← 224.99 m →
50 629 m²		 S 42.553080°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380855560302734 y=0.630855560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380855560302734 × 217)
    floor (0.380855560302734 × 131072)
    floor (49919.5)     		tx = 49919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630855560302734 × 217)
    floor (0.630855560302734 × 131072)
    floor (82687.5)     		ty = 82687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49919 / 82687 ti = "17/49919/82687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49919/82687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49919 ÷ 217
    49919 ÷ 131072     		x = 0.380851745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82687 ÷ 217
    82687 ÷ 131072     		y = 0.630851745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380851745605469 × 2 - 1) × π
    -0.238296508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.74863056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630851745605469 × 2 - 1) × π
    -0.261703491210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.822165765383583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74863056} λ = -0.74863056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822165765383583))-π/2
    2×atan(0.439478815060624)-π/2
    2×0.414070141124199-π/2
    0.828140282248397-1.57079632675     		φ = -0.74265604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74863056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.893372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74265604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.551057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49919 KachelY 82687 -0.74863056 -0.74265604 -42.893372 -42.551057
    Oben rechts KachelX + 1 49920 KachelY 82687 -0.74858262 -0.74265604 -42.890625 -42.551057
    Unten links KachelX 49919 KachelY + 1 82688 -0.74863056 -0.74269136 -42.893372 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 49920 KachelY + 1 82688 -0.74858262 -0.74269136 -42.890625 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74265604--0.74269136) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dl = 225.023720000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74265604--0.74269136) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dr = 225.023720000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74863056--0.74858262) × cos(-0.74265604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7366750203909 × 6371000     		do = 224.999513242258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74863056--0.74858262) × cos(-0.74269136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 224.992217995388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74265604)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7366750203909-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.74858262--0.74863056)×2.3885501169052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3885501169052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3885501169052e-05×40589641000000     		ar = 50629.4066716225m²