Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4992 / 1408
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 39.375000°		 ← 1 223.71 m → N 75.497157°
E 39.418945°		 →
↑
1 224.19 m
↓
↑
1 224.19 m
↓
N 75.486148°
E 39.375000°		 ← 1 224.62 m →
1 498 613 m²		 N 75.486148°
E 39.418945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60943603515625 y=0.17193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60943603515625 × 213)
    floor (0.60943603515625 × 8192)
    floor (4992.5)     		tx = 4992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17193603515625 × 213)
    floor (0.17193603515625 × 8192)
    floor (1408.5)     		ty = 1408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4992 / 1408 ti = "13/4992/1408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4992/1408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4992 ÷ 213
    4992 ÷ 8192     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1408 ÷ 213
    1408 ÷ 8192     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4992 KachelY 1408 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 4993 KachelY 1408 0.68799038 1.31767397 39.418945 75.497157
    Unten links KachelX 4992 KachelY + 1 1409 0.68722339 1.31748182 39.375000 75.486148
    Unten rechts KachelX + 1 4993 KachelY + 1 1409 0.68799038 1.31748182 39.418945 75.486148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31748182) × R
    0.000192149999999947 × 6371000     		dl = 1224.18764999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31748182) × R
    0.000192149999999947 × 6371000     		dr = 1224.18764999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68799038) × cos(1.31767397) × R
    0.000766990000000023 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 1223.71493043735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68799038) × cos(1.31748182) × R
    0.000766990000000023 × 0.2506140611966 × 6371000     		du = 1224.62392841687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31748182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.2506140611966)×R²
    abs(0.68799038-0.68722339)×0.000186022557604526×R²
    0.000766990000000023×0.000186022557604526×6371000²
    0.000766990000000023×0.000186022557604526×40589641000000     		ar = 1498613.10162127m²