Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49920 / 48896
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 94.218750°		 ← 248.98 m → S 65.946472°
E 94.224243°		 →
↑
248.98 m
↓
↑
248.98 m
↓
S 65.948711°
E 94.218750°		 ← 248.96 m →
61 987 m²		 S 65.948711°
E 94.224243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761726379394531 y=0.746101379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761726379394531 × 216)
    floor (0.761726379394531 × 65536)
    floor (49920.5)     		tx = 49920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746101379394531 × 216)
    floor (0.746101379394531 × 65536)
    floor (48896.5)     		ty = 48896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49920 / 48896 ti = "16/49920/48896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49920/48896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49920 ÷ 216
    49920 ÷ 65536     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48896 ÷ 216
    48896 ÷ 65536     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49920 KachelY 48896 1.64442740 -1.15098306 94.218750 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 49921 KachelY 48896 1.64452328 -1.15098306 94.224243 -65.946472
    Unten links KachelX 49920 KachelY + 1 48897 1.64442740 -1.15102214 94.218750 -65.948711
    Unten rechts KachelX + 1 49921 KachelY + 1 48897 1.64452328 -1.15102214 94.224243 -65.948711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15102214) × R
    3.90800000000802e-05 × 6371000     		dl = 248.978680000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15102214) × R
    3.90800000000802e-05 × 6371000     		dr = 248.978680000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.64452328) × cos(-1.15098306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 248.976919259079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.64452328) × cos(-1.15102214) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407554255124986 × 6371000     		du = 248.955119923232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15102214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407554255124986)×R²
    abs(1.64452328-1.64442740)×3.56868020470191e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56868020470191e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56868020470191e-05×40589641000000     		ar = 61987.2309308958m²