Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49921 / 81664
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
W 42.887879°		 ← 232.43 m → S 40.446947°
W 42.885132°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
S 40.449037°
W 42.887879°		 ← 232.42 m →
54 019 m²		 S 40.449037°
W 42.885132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380870819091797 y=0.623050689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380870819091797 × 217)
    floor (0.380870819091797 × 131072)
    floor (49921.5)     		tx = 49921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623050689697266 × 217)
    floor (0.623050689697266 × 131072)
    floor (81664.5)     		ty = 81664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49921 / 81664 ti = "17/49921/81664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49921/81664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49921 ÷ 217
    49921 ÷ 131072     		x = 0.380867004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81664 ÷ 217
    81664 ÷ 131072     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380867004394531 × 2 - 1) × π
    -0.238265991210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74853469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74853469} λ = -0.74853469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74853469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.887879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49921 KachelY 81664 -0.74853469 -0.70593240 -42.887879 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 49922 KachelY 81664 -0.74848675 -0.70593240 -42.885132 -40.446947
    Unten links KachelX 49921 KachelY + 1 81665 -0.74853469 -0.70596888 -42.887879 -40.449037
    Unten rechts KachelX + 1 49922 KachelY + 1 81665 -0.74848675 -0.70596888 -42.885132 -40.449037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.70596888) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dl = 232.414080000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.70596888) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dr = 232.414080000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74853469--0.74848675) × cos(-0.70593240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 232.431124301507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74853469--0.74848675) × cos(-0.70596888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760983327370345 × 6371000     		du = 232.423895889597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.70596888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.760983327370345)×R²
    abs(-0.74848675--0.74853469)×2.36666756054937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36666756054937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36666756054937e-05×40589641000000     		ar = 54019.4259317233m²