Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4994 / 898
↖ ↑ ↗
← N 80.163710°
E 39.462890°		 ← 834.78 m → N 80.163710°
E 39.506836°		 →
↑
835.05 m
↓
↑
835.05 m
↓
N 80.156200°
E 39.462890°		 ← 835.41 m →
697 342 m²		 N 80.156200°
E 39.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60968017578125 y=0.10968017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60968017578125 × 213)
    floor (0.60968017578125 × 8192)
    floor (4994.5)     		tx = 4994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10968017578125 × 213)
    floor (0.10968017578125 × 8192)
    floor (898.5)     		ty = 898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4994 / 898 ti = "13/4994/898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4994/898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4994 ÷ 213
    4994 ÷ 8192     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 898 ÷ 213
    898 ÷ 8192     		y = 0.109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45283527975903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45283527975903))-π/2
    2×atan(11.6212495464354)-π/2
    2×1.48495850489399-π/2
    2.96991700978798-1.57079632675     		φ = 1.39912068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39912068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.163710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4994 KachelY 898 0.68875737 1.39912068 39.462890 80.163710
    Oben rechts KachelX + 1 4995 KachelY 898 0.68952436 1.39912068 39.506836 80.163710
    Unten links KachelX 4994 KachelY + 1 899 0.68875737 1.39898961 39.462890 80.156200
    Unten rechts KachelX + 1 4995 KachelY + 1 899 0.68952436 1.39898961 39.506836 80.156200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39912068-1.39898961) × R
    0.0001310699999999 × 6371000     		dl = 835.046969999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39912068-1.39898961) × R
    0.0001310699999999 × 6371000     		dr = 835.046969999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68952436) × cos(1.39912068) × R
    0.000766989999999912 × 0.170833602735543 × 6371000     		do = 834.777253473661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68952436) × cos(1.39898961) × R
    0.000766989999999912 × 0.170962744524813 × 6371000     		du = 835.408303960385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39912068)-sin(1.39898961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170833602735543-0.170962744524813)×R²
    abs(0.68952436-0.68875737)×0.00012914178926951×R²
    0.000766989999999912×0.00012914178926951×6371000²
    0.000766989999999912×0.00012914178926951×40589641000000     		ar = 697341.695532324m²