Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49984 / 82240
↖ ↑ ↗
← S 41.640078°
W 42.714844°		 ← 228.21 m → S 41.640078°
W 42.712097°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 41.642131°
W 42.714844°		 ← 228.20 m →
52 078 m²		 S 41.642131°
W 42.712097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381351470947266 y=0.627445220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381351470947266 × 217)
    floor (0.381351470947266 × 131072)
    floor (49984.5)     		tx = 49984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627445220947266 × 217)
    floor (0.627445220947266 × 131072)
    floor (82240.5)     		ty = 82240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49984 / 82240 ti = "17/49984/82240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49984/82240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49984 ÷ 217
    49984 ÷ 131072     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82240 ÷ 217
    82240 ÷ 131072     		y = 0.62744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800737971253418))-π/2
    2×atan(0.448997494580913)-π/2
    2×0.422019929105416-π/2
    0.844039858210832-1.57079632675     		φ = -0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49984 KachelY 82240 -0.74551466 -0.72675647 -42.714844 -41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 49985 KachelY 82240 -0.74546673 -0.72675647 -42.712097 -41.640078
    Unten links KachelX 49984 KachelY + 1 82241 -0.74551466 -0.72679229 -42.714844 -41.642131
    Unten rechts KachelX + 1 49985 KachelY + 1 82241 -0.74546673 -0.72679229 -42.712097 -41.642131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72675647--0.72679229) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72675647--0.72679229) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(-0.72675647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 228.207271723035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(-0.72679229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747309689376641 × 6371000     		du = 228.20000378686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72675647)-sin(-0.72679229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.747309689376641)×R²
    abs(-0.74546673--0.74551466)×2.38010474814532e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38010474814532e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38010474814532e-05×40589641000000     		ar = 52078.1741787217m²