Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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4 / 5 / 11
↖ ↑ ↗
← S 55.776573°
W 67.500000°		 ← 1 407.114 km → S 55.776573°
W 45.000000°		 →
↑
1 193.865 km
↓
↑
1 193.865 km
↓
S 66.513260°
W 67.500000°		 ← 997.094 km →
1 439 365 km²		 S 66.513260°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34375 y=0.71875 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34375 × 24)
    floor (0.34375 × 16)
    floor (5.5)     		tx = 5
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71875 × 24)
    floor (0.71875 × 16)
    floor (11.5)     		ty = 11
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 5 / 11 ti = "4/5/11"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/5/11.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5 ÷ 24
    5 ÷ 16     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11 ÷ 24
    11 ÷ 16     		y = 0.6875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6875 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1780972450625))-π/2
    2×atan(0.307863971338866)-π/2
    2×0.298655741079525-π/2
    0.597311482159051-1.57079632675     		φ = -0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5 KachelY 11 -1.17809725 -0.97348484 -67.500000 -55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 6 KachelY 11 -0.78539816 -0.97348484 -45.000000 -55.776573
    Unten links KachelX 5 KachelY + 1 12 -1.17809725 -1.16087539 -67.500000 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 6 KachelY + 1 12 -0.78539816 -1.16087539 -45.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97348484--1.16087539) × R
    0.18739055 × 6371000     		dl = 1193865.19405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97348484--1.16087539) × R
    0.18739055 × 6371000     		dr = 1193865.19405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--0.78539816) × cos(-0.97348484) × R
    0.39269909 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 1407114.44637685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--0.78539816) × cos(-1.16087539) × R
    0.39269909 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 997093.642101545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97348484)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.398536816226928)×R²
    abs(-0.78539816--1.17809725)×0.163884693496063×R²
    0.39269909×0.163884693496063×6371000²
    0.39269909×0.163884693496063×40589641000000     		ar = 1439364612047.62m²