Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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3 / 5 / 5
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
E 45.000000°		 ← 3 777.546 km → S 40.979898°
E 90.000000°		 →
↑
2 839.180 km
↓
↑
2 839.180 km
↓
S 66.513260°
E 45.000000°		 ← 1 994.187 km →
8 331 844 km²		 S 66.513260°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 3 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6875 y=0.6875 und der Vergrößerungsstufe zoom=3 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6875 × 23)
    floor (0.6875 × 8)
    floor (5.5)     		tx = 5
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6875 × 23)
    floor (0.6875 × 8)
    floor (5.5)     		ty = 5
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 3 / 5 / 5 ti = "3/5/5"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/3/5/5.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5 ÷ 23
    5 ÷ 8     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5 ÷ 23
    5 ÷ 8     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5 KachelY 5 0.78539816 -0.71523415 45.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 6 KachelY 5 1.57079633 -0.71523415 90.000000 -40.979898
    Unten links KachelX 5 KachelY + 1 6 0.78539816 -1.16087539 45.000000 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 6 KachelY + 1 6 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--1.16087539) × R
    0.44564124 × 6371000     		dl = 2839180.34004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--1.16087539) × R
    0.44564124 × 6371000     		dr = 2839180.34004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-1.57079633) × cos(-0.71523415) × R
    0.78539817 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 3777545.97557779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-1.57079633) × cos(-1.16087539) × R
    0.78539817 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 1994187.25881231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57079633-0.78539816)×0.356402891468453×R²
    0.78539817×0.356402891468453×6371000²
    0.78539817×0.356402891468453×40589641000000     		ar = 8331843651948.77m²