Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 50 / 50
↖ ↑ ↗
← S 70.612614°
E101.250000°		 ← 207.627 km → S 70.612614°
E106.875000°		 →
↑
198.271 km
↓
↑
198.271 km
↓
S 72.395706°
E101.250000°		 ← 189.168 km →
39 339.7 km²		 S 72.395706°
E106.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7890625 y=0.7890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7890625 × 26)
    floor (0.7890625 × 64)
    floor (50.5)     		tx = 50
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7890625 × 26)
    floor (0.7890625 × 64)
    floor (50.5)     		ty = 50
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 50 / 50 ti = "6/50/50"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/50/50.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50 ÷ 26
    50 ÷ 64     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50 ÷ 26
    50 ÷ 64     		y = 0.78125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78125 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76714586759375))-π/2
    2×atan(0.170819836161558)-π/2
    2×0.1691868574588-π/2
    0.3383737149176-1.57079632675     		φ = -1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50 KachelY 50 1.76714587 -1.23242261 101.250000 -70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 51 KachelY 50 1.86532064 -1.23242261 106.875000 -70.612614
    Unten links KachelX 50 KachelY + 1 51 1.76714587 -1.26354343 101.250000 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 51 KachelY + 1 51 1.86532064 -1.26354343 106.875000 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23242261--1.26354343) × R
    0.0311208199999999 × 6371000     		dl = 198270.74422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23242261--1.26354343) × R
    0.0311208199999999 × 6371000     		dr = 198270.74422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.86532064) × cos(-1.23242261) × R
    0.09817477 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 207627.418755671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.86532064) × cos(-1.26354343) × R
    0.09817477 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 189168.420176174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23242261)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.302441330058417)×R²
    abs(1.86532064-1.76714587)×0.0295121356763995×R²
    0.09817477×0.0295121356763995×6371000²
    0.09817477×0.0295121356763995×40589641000000     		ar = 39339678253.1513m²