Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50048 / 83328
↖ ↑ ↗
← S 43.834527°
W 42.539062°		 ← 220.32 m → S 43.834527°
W 42.536316°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 43.836508°
W 42.539062°		 ← 220.31 m →
48 537 m²		 S 43.836508°
W 42.536316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381839752197266 y=0.635746002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381839752197266 × 217)
    floor (0.381839752197266 × 131072)
    floor (50048.5)     		tx = 50048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635746002197266 × 217)
    floor (0.635746002197266 × 131072)
    floor (83328.5)     		ty = 83328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50048 / 83328 ti = "17/50048/83328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50048/83328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50048 ÷ 217
    50048 ÷ 131072     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83328 ÷ 217
    83328 ÷ 131072     		y = 0.6357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852893318040039))-π/2
    2×atan(0.426180071898415)-π/2
    2×0.402869754204406-π/2
    0.805739508408813-1.57079632675     		φ = -0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50048 KachelY 83328 -0.74244670 -0.76505682 -42.539062 -43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 50049 KachelY 83328 -0.74239876 -0.76505682 -42.536316 -43.834527
    Unten links KachelX 50048 KachelY + 1 83329 -0.74244670 -0.76509140 -42.539062 -43.836508
    Unten rechts KachelX + 1 50049 KachelY + 1 83329 -0.74239876 -0.76509140 -42.536316 -43.836508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76505682--0.76509140) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76505682--0.76509140) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74239876) × cos(-0.76505682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 220.316721498927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74239876) × cos(-0.76509140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721319056541826 × 6371000     		du = 220.309406620245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76505682)-sin(-0.76509140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721319056541826)×R²
    abs(-0.74239876--0.74244670)×2.39497780470943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39497780470943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39497780470943e-05×40589641000000     		ar = 48536.9904909368m²