Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50144 / 83040
↖ ↑ ↗
← S 43.261206°
W 42.275391°		 ← 222.42 m → S 43.261206°
W 42.272644°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.263206°
W 42.275391°		 ← 222.42 m →
49 454 m²		 S 43.263206°
W 42.272644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382572174072266 y=0.633548736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382572174072266 × 217)
    floor (0.382572174072266 × 131072)
    floor (50144.5)     		tx = 50144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633548736572266 × 217)
    floor (0.633548736572266 × 131072)
    floor (83040.5)     		ty = 83040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50144 / 83040 ti = "17/50144/83040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50144/83040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50144 ÷ 217
    50144 ÷ 131072     		x = 0.382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83040 ÷ 217
    83040 ÷ 131072     		y = 0.633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73784476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73784476} λ = -0.73784476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839087490949463))-π/2
    2×atan(0.432104642980402)-π/2
    2×0.407872920775334-π/2
    0.815745841550669-1.57079632675     		φ = -0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73784476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.275391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50144 KachelY 83040 -0.73784476 -0.75505049 -42.275391 -43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 50145 KachelY 83040 -0.73779682 -0.75505049 -42.272644 -43.261206
    Unten links KachelX 50144 KachelY + 1 83041 -0.73784476 -0.75508539 -42.275391 -43.263206
    Unten rechts KachelX + 1 50145 KachelY + 1 83041 -0.73779682 -0.75508539 -42.272644 -43.263206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75505049--0.75508539) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75505049--0.75508539) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73784476--0.73779682) × cos(-0.75505049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 222.422306914567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73784476--0.73779682) × cos(-0.75508539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728213023728263 × 6371000     		du = 222.415001649697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75505049)-sin(-0.75508539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.728213023728263)×R²
    abs(-0.73779682--0.73784476)×2.39183012887834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39183012887834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39183012887834e-05×40589641000000     		ar = 49454.3207053909m²