Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50160 / 82992
↖ ↑ ↗
← S 43.165123°
W 42.231445°		 ← 222.77 m → S 43.165123°
W 42.228699°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.167126°
W 42.231445°		 ← 222.77 m →
49 632 m²		 S 43.167126°
W 42.228699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382694244384766 y=0.633182525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382694244384766 × 217)
    floor (0.382694244384766 × 131072)
    floor (50160.5)     		tx = 50160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633182525634766 × 217)
    floor (0.633182525634766 × 131072)
    floor (82992.5)     		ty = 82992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50160 / 82992 ti = "17/50160/82992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50160/82992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50160 ÷ 217
    50160 ÷ 131072     		x = 0.3826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82992 ÷ 217
    82992 ÷ 131072     		y = 0.6331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73707777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.8367865197677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73707777} λ = -0.73707777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8367865197677))-π/2
    2×atan(0.433100048071442)-π/2
    2×0.40871140743205-π/2
    0.817422814864099-1.57079632675     		φ = -0.75337351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73707777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.231445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75337351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.165123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50160 KachelY 82992 -0.73707777 -0.75337351 -42.231445 -43.165123
    Oben rechts KachelX + 1 50161 KachelY 82992 -0.73702983 -0.75337351 -42.228699 -43.165123
    Unten links KachelX 50160 KachelY + 1 82993 -0.73707777 -0.75340848 -42.231445 -43.167126
    Unten rechts KachelX + 1 50161 KachelY + 1 82993 -0.73702983 -0.75340848 -42.228699 -43.167126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75337351--0.75340848) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75337351--0.75340848) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73707777--0.73702983) × cos(-0.75337351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72938519454798 × 6371000     		do = 222.773012789715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73707777--0.73702983) × cos(-0.75340848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729361271011827 × 6371000     		du = 222.765705925982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75337351)-sin(-0.75340848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72938519454798-0.729361271011827)×R²
    abs(-0.73702983--0.73707777)×2.39235361529921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39235361529921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39235361529921e-05×40589641000000     		ar = 49631.6476939083m²