Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50172 / 82956
↖ ↑ ↗
← S 43.092961°
W 42.198487°		 ← 223.04 m → S 43.092961°
W 42.195740°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.094966°
W 42.198487°		 ← 223.03 m →
49 733 m²		 S 43.094966°
W 42.195740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382785797119141 y=0.632907867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382785797119141 × 217)
    floor (0.382785797119141 × 131072)
    floor (50172.5)     		tx = 50172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632907867431641 × 217)
    floor (0.632907867431641 × 131072)
    floor (82956.5)     		ty = 82956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50172 / 82956 ti = "17/50172/82956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50172/82956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50172 ÷ 217
    50172 ÷ 131072     		x = 0.382781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82956 ÷ 217
    82956 ÷ 131072     		y = 0.632904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.23443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73650253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.26580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.835060791381378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73650253} λ = -0.73650253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835060791381378))-π/2
    2×atan(0.433848106405615)-π/2
    2×0.409341139282101-π/2
    0.818682278564202-1.57079632675     		φ = -0.75211405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73650253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.198487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75211405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.092961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50172 KachelY 82956 -0.73650253 -0.75211405 -42.198487 -43.092961
    Oben rechts KachelX + 1 50173 KachelY 82956 -0.73645459 -0.75211405 -42.195740 -43.092961
    Unten links KachelX 50172 KachelY + 1 82957 -0.73650253 -0.75214905 -42.198487 -43.094966
    Unten rechts KachelX + 1 50173 KachelY + 1 82957 -0.73645459 -0.75214905 -42.195740 -43.094966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75211405--0.75214905) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75211405--0.75214905) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73650253--0.73645459) × cos(-0.75211405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730246216492516 × 6371000     		do = 223.035991054281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73650253--0.73645459) × cos(-0.75214905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730222304603056 × 6371000     		du = 223.028687747748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75211405)-sin(-0.75214905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730246216492516-0.730222304603056)×R²
    abs(-0.73645459--0.73650253)×2.39118894596047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39118894596047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39118894596047e-05×40589641000000     		ar = 49732.8662063617m²