Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50176 / 80896
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 42.187500°		 ← 237.95 m → S 38.822591°
W 42.184753°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
S 38.824731°
W 42.187500°		 ← 237.95 m →
56 607 m²		 S 38.824731°
W 42.184753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382816314697266 y=0.617191314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382816314697266 × 217)
    floor (0.382816314697266 × 131072)
    floor (50176.5)     		tx = 50176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617191314697266 × 217)
    floor (0.617191314697266 × 131072)
    floor (80896.5)     		ty = 80896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50176 / 80896 ti = "17/50176/80896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50176/80896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50176 ÷ 217
    50176 ÷ 131072     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80896 ÷ 217
    80896 ÷ 131072     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50176 KachelY 80896 -0.73631078 -0.67758204 -42.187500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 50177 KachelY 80896 -0.73626284 -0.67758204 -42.184753 -38.822591
    Unten links KachelX 50176 KachelY + 1 80897 -0.73631078 -0.67761938 -42.187500 -38.824731
    Unten rechts KachelX + 1 50177 KachelY + 1 80897 -0.73626284 -0.67761938 -42.184753 -38.824731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.67761938) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.67761938) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73626284) × cos(-0.67758204) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 237.954396517735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73626284) × cos(-0.67761938) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.779067431197892 × 6371000     		du = 237.94724668391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.67761938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.779067431197892)×R²
    abs(-0.73626284--0.73631078)×2.34094016602349e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34094016602349e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34094016602349e-05×40589641000000     		ar = 56606.8681227971m²