Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50176 / 82944
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.187500°		 ← 223.12 m → S 43.068888°
W 42.184753°		 →
↑
223.11 m
↓
↑
223.11 m
↓
S 43.070894°
W 42.187500°		 ← 223.12 m →
49 781 m²		 S 43.070894°
W 42.184753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382816314697266 y=0.632816314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382816314697266 × 217)
    floor (0.382816314697266 × 131072)
    floor (50176.5)     		tx = 50176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632816314697266 × 217)
    floor (0.632816314697266 × 131072)
    floor (82944.5)     		ty = 82944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50176 / 82944 ti = "17/50176/82944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50176/82944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50176 ÷ 217
    50176 ÷ 131072     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82944 ÷ 217
    82944 ÷ 131072     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50176 KachelY 82944 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 50177 KachelY 82944 -0.73626284 -0.75169390 -42.184753 -43.068888
    Unten links KachelX 50176 KachelY + 1 82945 -0.73631078 -0.75172892 -42.187500 -43.070894
    Unten rechts KachelX + 1 50177 KachelY + 1 82945 -0.73626284 -0.75172892 -42.184753 -43.070894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.75172892) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dl = 223.112419999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.75172892) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dr = 223.112419999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73626284) × cos(-0.75169390) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 223.123640704789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73626284) × cos(-0.75172892) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730509277007088 × 6371000     		du = 223.116336507125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.75172892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730509277007088)×R²
    abs(-0.73626284--0.73631078)×2.39148071273787e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39148071273787e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39148071273787e-05×40589641000000     		ar = 49780.8406132538m²