Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50177 / 17407
↖ ↑ ↗
← N 64.170500°
E 95.630493°		 ← 266.12 m → N 64.170500°
E 95.635986°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 64.168107°
E 95.630493°		 ← 266.14 m →
70 821 m²		 N 64.168107°
E 95.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765647888183594 y=0.265617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765647888183594 × 216)
    floor (0.765647888183594 × 65536)
    floor (50177.5)     		tx = 50177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265617370605469 × 216)
    floor (0.265617370605469 × 65536)
    floor (17407.5)     		ty = 17407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50177 / 17407 ti = "16/50177/17407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50177/17407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50177 ÷ 216
    50177 ÷ 65536     		x = 0.765640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17407 ÷ 216
    17407 ÷ 65536     		y = 0.265609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765640258789062 × 2 - 1) × π
    0.531280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66906697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265609741210938 × 2 - 1) × π
    0.468780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47271743012737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66906697} λ = 1.66906697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47271743012737))-π/2
    2×atan(4.36106995652533)-π/2
    2×1.3453914202079-π/2
    2.69078284041579-1.57079632675     		φ = 1.11998651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66906697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11998651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.170500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50177 KachelY 17407 1.66906697 1.11998651 95.630493 64.170500
    Oben rechts KachelX + 1 50178 KachelY 17407 1.66916284 1.11998651 95.635986 64.170500
    Unten links KachelX 50177 KachelY + 1 17408 1.66906697 1.11994474 95.630493 64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 50178 KachelY + 1 17408 1.66916284 1.11994474 95.635986 64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11998651-1.11994474) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11998651-1.11994474) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(1.11998651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435694588592034 × 6371000     		do = 266.11692616719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(1.11994474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 266.139889692262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11998651)-sin(1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435694588592034-0.435732185161907)×R²
    abs(1.66916284-1.66906697)×3.75965698728442e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75965698728442e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75965698728442e-05×40589641000000     		ar = 70821.2057206158m²