Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50178 / 115714
↖ ↑ ↗
← S 79.688168°
W 42.182007°		 ← 54.66 m → S 79.688168°
W 42.179260°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.688659°
W 42.182007°		 ← 54.66 m →
2 988 m²		 S 79.688659°
W 42.179260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382831573486328 y=0.882831573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382831573486328 × 217)
    floor (0.382831573486328 × 131072)
    floor (50178.5)     		tx = 50178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882831573486328 × 217)
    floor (0.882831573486328 × 131072)
    floor (115714.5)     		ty = 115714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50178 / 115714 ti = "17/50178/115714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50178/115714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50178 ÷ 217
    50178 ÷ 131072     		x = 0.382827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115714 ÷ 217
    115714 ÷ 131072     		y = 0.882827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382827758789062 × 2 - 1) × π
    -0.234344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73621490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882827758789062 × 2 - 1) × π
    -0.765655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40537774913518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73621490} λ = -0.73621490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40537774913518))-π/2
    2×atan(0.0902314043362612)-π/2
    2×0.089987714465421-π/2
    0.179975428930842-1.57079632675     		φ = -1.39082090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73621490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.182007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39082090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.688168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50178 KachelY 115714 -0.73621490 -1.39082090 -42.182007 -79.688168
    Oben rechts KachelX + 1 50179 KachelY 115714 -0.73616697 -1.39082090 -42.179260 -79.688168
    Unten links KachelX 50178 KachelY + 1 115715 -0.73621490 -1.39082948 -42.182007 -79.688659
    Unten rechts KachelX + 1 50179 KachelY + 1 115715 -0.73616697 -1.39082948 -42.179260 -79.688659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39082090--1.39082948) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39082090--1.39082948) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73621490--0.73616697) × cos(-1.39082090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179005397178921 × 6371000     		do = 54.6614514635451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73621490--0.73616697) × cos(-1.39082948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178996955755705 × 6371000     		du = 54.6588737734156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39082090)-sin(-1.39082948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179005397178921-0.178996955755705)×R²
    abs(-0.73616697--0.73621490)×8.44142321662633e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.44142321662633e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.44142321662633e-06×40589641000000     		ar = 2987.89830806656m²