Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50180 / 17412
↖ ↑ ↗
← N 78.627839°
W 42.176514°		 ← 60.22 m → N 78.627839°
W 42.173767°		 →
↑
60.21 m
↓
↑
60.21 m
↓
N 78.627298°
W 42.176514°		 ← 60.23 m →
3 626 m²		 N 78.627298°
W 42.173767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382846832275391 y=0.132846832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382846832275391 × 217)
    floor (0.382846832275391 × 131072)
    floor (50180.5)     		tx = 50180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132846832275391 × 217)
    floor (0.132846832275391 × 131072)
    floor (17412.5)     		ty = 17412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50180 / 17412 ti = "17/50180/17412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50180/17412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50180 ÷ 217
    50180 ÷ 131072     		x = 0.382843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17412 ÷ 217
    17412 ÷ 131072     		y = 0.132843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.23431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73611903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132843017578125 × 2 - 1) × π
    0.73431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30691535731558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73611903} λ = -0.73611903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30691535731558))-π/2
    2×atan(10.0433965346368)-π/2
    2×1.47155550468423-π/2
    2.94311100936846-1.57079632675     		φ = 1.37231468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73611903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.176514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37231468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.627839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50180 KachelY 17412 -0.73611903 1.37231468 -42.176514 78.627839
    Oben rechts KachelX + 1 50181 KachelY 17412 -0.73607109 1.37231468 -42.173767 78.627839
    Unten links KachelX 50180 KachelY + 1 17413 -0.73611903 1.37230523 -42.176514 78.627298
    Unten rechts KachelX + 1 50181 KachelY + 1 17413 -0.73607109 1.37230523 -42.173767 78.627298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37231468-1.37230523) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dl = 60.2059499990788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37231468-1.37230523) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dr = 60.2059499990788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73611903--0.73607109) × cos(1.37231468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197181015131412 × 6371000     		do = 60.2241574604231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73611903--0.73607109) × cos(1.37230523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197190279591685 × 6371000     		du = 60.2269870650578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37231468)-sin(1.37230523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197181015131412-0.197190279591685)×R²
    abs(-0.73607109--0.73611903)×9.26446027352257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.26446027352257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.26446027352257e-06×40589641000000     		ar = 3625.93779240925m²