Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50180 / 82948
↖ ↑ ↗
← S 43.076913°
W 42.176514°		 ← 223.09 m → S 43.076913°
W 42.173767°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 43.078919°
W 42.176514°		 ← 223.09 m →
49 760 m²		 S 43.078919°
W 42.173767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382846832275391 y=0.632846832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382846832275391 × 217)
    floor (0.382846832275391 × 131072)
    floor (50180.5)     		tx = 50180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632846832275391 × 217)
    floor (0.632846832275391 × 131072)
    floor (82948.5)     		ty = 82948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50180 / 82948 ti = "17/50180/82948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50180/82948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50180 ÷ 217
    50180 ÷ 131072     		x = 0.382843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82948 ÷ 217
    82948 ÷ 131072     		y = 0.632843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.23431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73611903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834677296184418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73611903} λ = -0.73611903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834677296184418))-π/2
    2×atan(0.43401451697742)-π/2
    2×0.40948118058327-π/2
    0.818962361166539-1.57079632675     		φ = -0.75183397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73611903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.176514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75183397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.076913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50180 KachelY 82948 -0.73611903 -0.75183397 -42.176514 -43.076913
    Oben rechts KachelX + 1 50181 KachelY 82948 -0.73607109 -0.75183397 -42.173767 -43.076913
    Unten links KachelX 50180 KachelY + 1 82949 -0.73611903 -0.75186898 -42.176514 -43.078919
    Unten rechts KachelX + 1 50181 KachelY + 1 82949 -0.73607109 -0.75186898 -42.173767 -43.078919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75183397--0.75186898) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75183397--0.75186898) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73611903--0.73607109) × cos(-0.75183397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730437534040237 × 6371000     		do = 223.094424357868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73611903--0.73607109) × cos(-0.75186898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730413622480005 × 6371000     		du = 223.08712115189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75183397)-sin(-0.75186898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730437534040237-0.730413622480005)×R²
    abs(-0.73607109--0.73611903)×2.39115602321816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39115602321816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39115602321816e-05×40589641000000     		ar = 49760.1090809703m²