Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50181 / 82947
↖ ↑ ↗
← S 43.074907°
W 42.173767°		 ← 223.06 m → S 43.074907°
W 42.171021°		 →
↑
223.11 m
↓
↑
223.11 m
↓
S 43.076913°
W 42.173767°		 ← 223.05 m →
49 766 m²		 S 43.076913°
W 42.171021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382854461669922 y=0.632839202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382854461669922 × 217)
    floor (0.382854461669922 × 131072)
    floor (50181.5)     		tx = 50181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632839202880859 × 217)
    floor (0.632839202880859 × 131072)
    floor (82947.5)     		ty = 82947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50181 / 82947 ti = "17/50181/82947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50181/82947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50181 ÷ 217
    50181 ÷ 131072     		x = 0.382850646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82947 ÷ 217
    82947 ÷ 131072     		y = 0.632835388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382850646972656 × 2 - 1) × π
    -0.234298706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.73607109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632835388183594 × 2 - 1) × π
    -0.265670776367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.834629359284798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73607109} λ = -0.73607109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834629359284798))-π/2
    2×atan(0.434035322786433)-π/2
    2×0.409498688325311-π/2
    0.818997376650622-1.57079632675     		φ = -0.75179895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73607109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.173767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75179895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.074907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50181 KachelY 82947 -0.73607109 -0.75179895 -42.173767 -43.074907
    Oben rechts KachelX + 1 50182 KachelY 82947 -0.73602316 -0.75179895 -42.171021 -43.074907
    Unten links KachelX 50181 KachelY + 1 82948 -0.73607109 -0.75183397 -42.173767 -43.076913
    Unten rechts KachelX + 1 50182 KachelY + 1 82948 -0.73602316 -0.75183397 -42.171021 -43.076913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75179895--0.75183397) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dl = 223.112419999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75179895--0.75183397) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dr = 223.112419999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73607109--0.73602316) × cos(-0.75179895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730461451534711 × 6371000     		do = 223.055191677523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73607109--0.73602316) × cos(-0.75183397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730437534040237 × 6371000     		du = 223.047888182857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75179895)-sin(-0.75183397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730461451534711-0.730437534040237)×R²
    abs(-0.73602316--0.73607109)×2.39174944740572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39174944740572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39174944740572e-05×40589641000000     		ar = 49765.5688638029m²