Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50185 / 82951
↖ ↑ ↗
← S 43.082932°
W 42.162781°		 ← 223.07 m → S 43.082932°
W 42.160034°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 43.084938°
W 42.162781°		 ← 223.07 m →
49 755 m²		 S 43.084938°
W 42.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382884979248047 y=0.632869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382884979248047 × 217)
    floor (0.382884979248047 × 131072)
    floor (50185.5)     		tx = 50185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632869720458984 × 217)
    floor (0.632869720458984 × 131072)
    floor (82951.5)     		ty = 82951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50185 / 82951 ti = "17/50185/82951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50185/82951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50185 ÷ 217
    50185 ÷ 131072     		x = 0.382881164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82951 ÷ 217
    82951 ÷ 131072     		y = 0.632865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382881164550781 × 2 - 1) × π
    -0.234237670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.73587935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632865905761719 × 2 - 1) × π
    -0.265731811523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.834821106883278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73587935} λ = -0.73587935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834821106883278))-π/2
    2×atan(0.433952105534242)-π/2
    2×0.409428660796312-π/2
    0.818857321592624-1.57079632675     		φ = -0.75193901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73587935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.162781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75193901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.082932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50185 KachelY 82951 -0.73587935 -0.75193901 -42.162781 -43.082932
    Oben rechts KachelX + 1 50186 KachelY 82951 -0.73583141 -0.75193901 -42.160034 -43.082932
    Unten links KachelX 50185 KachelY + 1 82952 -0.73587935 -0.75197402 -42.162781 -43.084938
    Unten rechts KachelX + 1 50186 KachelY + 1 82952 -0.73583141 -0.75197402 -42.160034 -43.084938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75193901--0.75197402) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75193901--0.75197402) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73587935--0.73583141) × cos(-0.75193901) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730365789843204 × 6371000     		do = 223.072511833915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73587935--0.73583141) × cos(-0.75197402) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730341875597 × 6371000     		du = 223.065207807572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75193901)-sin(-0.75197402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730365789843204-0.730341875597)×R²
    abs(-0.73583141--0.73587935)×2.39142462040709e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39142462040709e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39142462040709e-05×40589641000000     		ar = 49755.2214293599m²