Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50186 / 82954
↖ ↑ ↗
← S 43.088949°
W 42.160034°		 ← 223.05 m → S 43.088949°
W 42.157287°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 43.090955°
W 42.160034°		 ← 223.04 m →
49 750 m²		 S 43.090955°
W 42.157287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382892608642578 y=0.632892608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382892608642578 × 217)
    floor (0.382892608642578 × 131072)
    floor (50186.5)     		tx = 50186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632892608642578 × 217)
    floor (0.632892608642578 × 131072)
    floor (82954.5)     		ty = 82954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50186 / 82954 ti = "17/50186/82954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50186/82954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50186 ÷ 217
    50186 ÷ 131072     		x = 0.382888793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82954 ÷ 217
    82954 ÷ 131072     		y = 0.632888793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382888793945312 × 2 - 1) × π
    -0.234222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73583141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632888793945312 × 2 - 1) × π
    -0.265777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834964917582138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73583141} λ = -0.73583141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834964917582138))-π/2
    2×atan(0.433889703065852)-π/2
    2×0.409376146168162-π/2
    0.818752292336323-1.57079632675     		φ = -0.75204403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73583141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.160034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75204403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.088949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50186 KachelY 82954 -0.73583141 -0.75204403 -42.160034 -43.088949
    Oben rechts KachelX + 1 50187 KachelY 82954 -0.73578347 -0.75204403 -42.157287 -43.088949
    Unten links KachelX 50186 KachelY + 1 82955 -0.73583141 -0.75207904 -42.160034 -43.090955
    Unten rechts KachelX + 1 50187 KachelY + 1 82955 -0.73578347 -0.75207904 -42.157287 -43.090955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75204403--0.75207904) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75204403--0.75207904) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73583141--0.73578347) × cos(-0.75204403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73029405125041 × 6371000     		do = 223.050601020608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73583141--0.73578347) × cos(-0.75207904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730270134319009 × 6371000     		du = 223.043296174136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75204403)-sin(-0.75207904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73029405125041-0.730270134319009)×R²
    abs(-0.73578347--0.73583141)×2.39169314008025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39169314008025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39169314008025e-05×40589641000000     		ar = 49750.3341592524m²