Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50192 / 82960
↖ ↑ ↗
← S 43.100983°
W 42.143555°		 ← 223.01 m → S 43.100983°
W 42.140808°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.102988°
W 42.143555°		 ← 223 m →
49 726 m²		 S 43.102988°
W 42.140808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382938385009766 y=0.632938385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382938385009766 × 217)
    floor (0.382938385009766 × 131072)
    floor (50192.5)     		tx = 50192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632938385009766 × 217)
    floor (0.632938385009766 × 131072)
    floor (82960.5)     		ty = 82960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50192 / 82960 ti = "17/50192/82960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50192/82960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50192 ÷ 217
    50192 ÷ 131072     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82960 ÷ 217
    82960 ÷ 131072     		y = 0.6329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.835252538979858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835252538979858))-π/2
    2×atan(0.433764925048274)-π/2
    2×0.409271132388571-π/2
    0.818542264777142-1.57079632675     		φ = -0.75225406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75225406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.100983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50192 KachelY 82960 -0.73554379 -0.75225406 -42.143555 -43.100983
    Oben rechts KachelX + 1 50193 KachelY 82960 -0.73549585 -0.75225406 -42.140808 -43.100983
    Unten links KachelX 50192 KachelY + 1 82961 -0.73554379 -0.75228906 -42.143555 -43.102988
    Unten rechts KachelX + 1 50193 KachelY + 1 82961 -0.73549585 -0.75228906 -42.140808 -43.102988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75225406--0.75228906) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75225406--0.75228906) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73549585) × cos(-0.75225406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730150556734798 × 6371000     		do = 223.006774102508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73549585) × cos(-0.75228906) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73012664126717 × 6371000     		du = 222.99946970311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75225406)-sin(-0.75228906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730150556734798-0.73012664126717)×R²
    abs(-0.73549585--0.73554379)×2.3915467628588e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3915467628588e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3915467628588e-05×40589641000000     		ar = 49726.3511426232m²