Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50192 / 82961
↖ ↑ ↗
← S 43.102988°
W 42.143555°		 ← 223 m → S 43.102988°
W 42.140808°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.104993°
W 42.143555°		 ← 222.99 m →
49 725 m²		 S 43.104993°
W 42.140808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382938385009766 y=0.632946014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382938385009766 × 217)
    floor (0.382938385009766 × 131072)
    floor (50192.5)     		tx = 50192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632946014404297 × 217)
    floor (0.632946014404297 × 131072)
    floor (82961.5)     		ty = 82961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50192 / 82961 ti = "17/50192/82961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50192/82961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50192 ÷ 217
    50192 ÷ 131072     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82961 ÷ 217
    82961 ÷ 131072     		y = 0.632942199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632942199707031 × 2 - 1) × π
    -0.265884399414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.835300475879478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835300475879478))-π/2
    2×atan(0.43374413220098)-π/2
    2×0.409253632098244-π/2
    0.818507264196488-1.57079632675     		φ = -0.75228906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75228906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.102988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50192 KachelY 82961 -0.73554379 -0.75228906 -42.143555 -43.102988
    Oben rechts KachelX + 1 50193 KachelY 82961 -0.73549585 -0.75228906 -42.140808 -43.102988
    Unten links KachelX 50192 KachelY + 1 82962 -0.73554379 -0.75232406 -42.143555 -43.104993
    Unten rechts KachelX + 1 50193 KachelY + 1 82962 -0.73549585 -0.75232406 -42.140808 -43.104993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75228906--0.75232406) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75228906--0.75232406) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73549585) × cos(-0.75228906) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73012664126717 × 6371000     		do = 222.99946970311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73549585) × cos(-0.75232406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730102724905136 × 6371000     		du = 222.992165030538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75228906)-sin(-0.75232406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73012664126717-0.730102724905136)×R²
    abs(-0.73549585--0.73554379)×2.39163620338045e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39163620338045e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39163620338045e-05×40589641000000     		ar = 49724.722340744m²