Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50209 / 82975
↖ ↑ ↗
← S 43.131057°
W 42.096863°		 ← 222.90 m → S 43.131057°
W 42.094116°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 43.133061°
W 42.096863°		 ← 222.89 m →
49 674 m²		 S 43.133061°
W 42.094116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383068084716797 y=0.633052825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383068084716797 × 217)
    floor (0.383068084716797 × 131072)
    floor (50209.5)     		tx = 50209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633052825927734 × 217)
    floor (0.633052825927734 × 131072)
    floor (82975.5)     		ty = 82975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50209 / 82975 ti = "17/50209/82975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50209/82975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50209 ÷ 217
    50209 ÷ 131072     		x = 0.383064270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82975 ÷ 217
    82975 ÷ 131072     		y = 0.633049011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383064270019531 × 2 - 1) × π
    -0.233871459960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.73472886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633049011230469 × 2 - 1) × π
    -0.266098022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.835971592474159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73472886} λ = -0.73472886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835971592474159))-π/2
    2×atan(0.4334531369728)-π/2
    2×0.409008688223763-π/2
    0.818017376447527-1.57079632675     		φ = -0.75277895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73472886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.096863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75277895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.131057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50209 KachelY 82975 -0.73472886 -0.75277895 -42.096863 -43.131057
    Oben rechts KachelX + 1 50210 KachelY 82975 -0.73468092 -0.75277895 -42.094116 -43.131057
    Unten links KachelX 50209 KachelY + 1 82976 -0.73472886 -0.75281393 -42.096863 -43.133061
    Unten rechts KachelX + 1 50210 KachelY + 1 82976 -0.73468092 -0.75281393 -42.094116 -43.133061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75277895--0.75281393) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75277895--0.75281393) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73472886--0.73468092) × cos(-0.75277895) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729791806024805 × 6371000     		do = 222.897202401433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73472886--0.73468092) × cos(-0.75281393) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729767890820886 × 6371000     		du = 222.889898082578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75277895)-sin(-0.75281393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729791806024805-0.729767890820886)×R²
    abs(-0.73468092--0.73472886)×2.39152039196444e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39152039196444e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39152039196444e-05×40589641000000     		ar = 49673.5172096754m²