Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50210 / 82978
↖ ↑ ↗
← S 43.137070°
W 42.094116°		 ← 222.83 m → S 43.137070°
W 42.091370°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 43.139074°
W 42.094116°		 ← 222.82 m →
49 658 m²		 S 43.139074°
W 42.091370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383075714111328 y=0.633075714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383075714111328 × 217)
    floor (0.383075714111328 × 131072)
    floor (50210.5)     		tx = 50210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633075714111328 × 217)
    floor (0.633075714111328 × 131072)
    floor (82978.5)     		ty = 82978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50210 / 82978 ti = "17/50210/82978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50210/82978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50210 ÷ 217
    50210 ÷ 131072     		x = 0.383071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82978 ÷ 217
    82978 ÷ 131072     		y = 0.633071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.233856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73468092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.266143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.836115403173019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73468092} λ = -0.73468092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.836115403173019))-π/2
    2×atan(0.433390806256268)-π/2
    2×0.408956214868659-π/2
    0.817912429737318-1.57079632675     		φ = -0.75288390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73468092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.094116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75288390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.137070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50210 KachelY 82978 -0.73468092 -0.75288390 -42.094116 -43.137070
    Oben rechts KachelX + 1 50211 KachelY 82978 -0.73463299 -0.75288390 -42.091370 -43.137070
    Unten links KachelX 50210 KachelY + 1 82979 -0.73468092 -0.75291888 -42.094116 -43.139074
    Unten rechts KachelX + 1 50211 KachelY + 1 82979 -0.73463299 -0.75291888 -42.091370 -43.139074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75288390--0.75291888) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dl = 222.857579999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75288390--0.75291888) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dr = 222.857579999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73468092--0.73463299) × cos(-0.75288390) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.729720050896783 × 6371000     		do = 222.828796073165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73468092--0.73463299) × cos(-0.75291888) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.729696133013863 × 6371000     		du = 222.821492459883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75288390)-sin(-0.75291888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729720050896783-0.729696133013863)×R²
    abs(-0.73463299--0.73468092)×2.39178829197773e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39178829197773e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39178829197773e-05×40589641000000     		ar = 49658.2724194199m²