Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50216 / 82984
↖ ↑ ↗
← S 43.149094°
W 42.077637°		 ← 222.78 m → S 43.149094°
W 42.074890°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.151098°
W 42.077637°		 ← 222.78 m →
49 634 m²		 S 43.151098°
W 42.074890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383121490478516 y=0.633121490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383121490478516 × 217)
    floor (0.383121490478516 × 131072)
    floor (50216.5)     		tx = 50216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633121490478516 × 217)
    floor (0.633121490478516 × 131072)
    floor (82984.5)     		ty = 82984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50216 / 82984 ti = "17/50216/82984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50216/82984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50216 ÷ 217
    50216 ÷ 131072     		x = 0.38311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82984 ÷ 217
    82984 ÷ 131072     		y = 0.63311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.83640302457074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73439330} λ = -0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83640302457074))-π/2
    2×atan(0.433266171711453)-π/2
    2×0.408851283636874-π/2
    0.817702567273748-1.57079632675     		φ = -0.75309376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75309376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.149094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50216 KachelY 82984 -0.73439330 -0.75309376 -42.077637 -43.149094
    Oben rechts KachelX + 1 50217 KachelY 82984 -0.73434537 -0.75309376 -42.074890 -43.149094
    Unten links KachelX 50216 KachelY + 1 82985 -0.73439330 -0.75312873 -42.077637 -43.151098
    Unten rechts KachelX + 1 50217 KachelY + 1 82985 -0.73434537 -0.75312873 -42.074890 -43.151098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75309376--0.75312873) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75309376--0.75312873) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73439330--0.73434537) × cos(-0.75309376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729576543884985 × 6371000     		do = 222.78497448124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73439330--0.73434537) × cos(-0.75312873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729552627485123 × 6371000     		du = 222.777671320827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75309376)-sin(-0.75312873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729576543884985-0.729552627485123)×R²
    abs(-0.73434537--0.73439330)×2.39163998625447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39163998625447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39163998625447e-05×40589641000000     		ar = 49634.3130978949m²