Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5024 / 1440
↖ ↑ ↗
← N 75.140778°
E 40.781250°		 ← 1 253.12 m → N 75.140778°
E 40.825196°		 →
↑
1 253.62 m
↓
↑
1 253.62 m
↓
N 75.129504°
E 40.781250°		 ← 1 254.05 m →
1 571 517 m²		 N 75.129504°
E 40.825196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61334228515625 y=0.17584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61334228515625 × 213)
    floor (0.61334228515625 × 8192)
    floor (5024.5)     		tx = 5024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17584228515625 × 213)
    floor (0.17584228515625 × 8192)
    floor (1440.5)     		ty = 1440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5024 / 1440 ti = "13/5024/1440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5024/1440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5024 ÷ 213
    5024 ÷ 8192     		x = 0.61328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1440 ÷ 213
    1440 ÷ 8192     		y = 0.17578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61328125 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17578125 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03712648625391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71176709} λ = 0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03712648625391))-π/2
    2×atan(7.66854184823222)-π/2
    2×1.44112515130493-π/2
    2.88225030260985-1.57079632675     		φ = 1.31145398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31145398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.140778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5024 KachelY 1440 0.71176709 1.31145398 40.781250 75.140778
    Oben rechts KachelX + 1 5025 KachelY 1440 0.71253408 1.31145398 40.825196 75.140778
    Unten links KachelX 5024 KachelY + 1 1441 0.71176709 1.31125721 40.781250 75.129504
    Unten rechts KachelX + 1 5025 KachelY + 1 1441 0.71253408 1.31125721 40.825196 75.129504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31145398-1.31125721) × R
    0.000196770000000068 × 6371000     		dl = 1253.62167000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31145398-1.31125721) × R
    0.000196770000000068 × 6371000     		dr = 1253.62167000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71176709-0.71253408) × cos(1.31145398) × R
    0.000766989999999912 × 0.256444946876806 × 6371000     		do = 1253.11651216778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71176709-0.71253408) × cos(1.31125721) × R
    0.000766989999999912 × 0.256635131693753 × 6371000     		du = 1254.04584899965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31145398)-sin(1.31125721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256444946876806-0.256635131693753)×R²
    abs(0.71253408-0.71176709)×0.00019018481694677×R²
    0.000766989999999912×0.00019018481694677×6371000²
    0.000766989999999912×0.00019018481694677×40589641000000     		ar = 1571516.538152m²