Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50240 / 80960
↖ ↑ ↗
← S 38.959409°
W 42.011719°		 ← 237.50 m → S 38.959409°
W 42.008972°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 38.961544°
W 42.011719°		 ← 237.49 m →
56 392 m²		 S 38.961544°
W 42.008972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383304595947266 y=0.617679595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383304595947266 × 217)
    floor (0.383304595947266 × 131072)
    floor (50240.5)     		tx = 50240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617679595947266 × 217)
    floor (0.617679595947266 × 131072)
    floor (80960.5)     		ty = 80960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50240 / 80960 ti = "17/50240/80960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50240/80960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50240 ÷ 217
    50240 ÷ 131072     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80960 ÷ 217
    80960 ÷ 131072     		y = 0.61767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.739378739739746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739378739739746))-π/2
    2×atan(0.477410419529904)-π/2
    2×0.445413184376288-π/2
    0.890826368752575-1.57079632675     		φ = -0.67996996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67996996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.959409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50240 KachelY 80960 -0.73324282 -0.67996996 -42.011719 -38.959409
    Oben rechts KachelX + 1 50241 KachelY 80960 -0.73319488 -0.67996996 -42.008972 -38.959409
    Unten links KachelX 50240 KachelY + 1 80961 -0.73324282 -0.68000723 -42.011719 -38.961544
    Unten rechts KachelX + 1 50241 KachelY + 1 80961 -0.73319488 -0.68000723 -42.008972 -38.961544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67996996--0.68000723) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67996996--0.68000723) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.67996996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777591607342525 × 6371000     		do = 237.496492090224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.68000723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777568172557041 × 6371000     		du = 237.489334503526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67996996)-sin(-0.68000723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777591607342525-0.777568172557041)×R²
    abs(-0.73319488--0.73324282)×2.34347854838335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34347854838335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34347854838335e-05×40589641000000     		ar = 56392.0201638928m²