Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50240 / 82880
↖ ↑ ↗
← S 42.940339°
W 42.011719°		 ← 223.59 m → S 42.940339°
W 42.008972°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 42.942350°
W 42.011719°		 ← 223.58 m →
49 985 m²		 S 42.942350°
W 42.008972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383304595947266 y=0.632328033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383304595947266 × 217)
    floor (0.383304595947266 × 131072)
    floor (50240.5)     		tx = 50240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632328033447266 × 217)
    floor (0.632328033447266 × 131072)
    floor (82880.5)     		ty = 82880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50240 / 82880 ti = "17/50240/82880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50240/82880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50240 ÷ 217
    50240 ÷ 131072     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82880 ÷ 217
    82880 ÷ 131072     		y = 0.63232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831417587010254))-π/2
    2×atan(0.43543158644252)-π/2
    2×0.41067301263106-π/2
    0.821346025262119-1.57079632675     		φ = -0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50240 KachelY 82880 -0.73324282 -0.74945030 -42.011719 -42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 50241 KachelY 82880 -0.73319488 -0.74945030 -42.008972 -42.940339
    Unten links KachelX 50240 KachelY + 1 82881 -0.73324282 -0.74948539 -42.011719 -42.942350
    Unten rechts KachelX + 1 50241 KachelY + 1 82881 -0.73319488 -0.74948539 -42.008972 -42.942350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74945030--0.74948539) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74945030--0.74948539) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.74945030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 223.59102251114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.74948539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73203955009645 × 6371000     		du = 223.583721297329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74945030)-sin(-0.74948539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.73203955009645)×R²
    abs(-0.73319488--0.73324282)×2.39050376422689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39050376422689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39050376422689e-05×40589641000000     		ar = 49984.8328924308m²