Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50240 / 83136
↖ ↑ ↗
← S 43.452919°
W 42.011719°		 ← 221.72 m → S 43.452919°
W 42.008972°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 43.454913°
W 42.011719°		 ← 221.71 m →
49 157 m²		 S 43.454913°
W 42.008972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383304595947266 y=0.634281158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383304595947266 × 217)
    floor (0.383304595947266 × 131072)
    floor (50240.5)     		tx = 50240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634281158447266 × 217)
    floor (0.634281158447266 × 131072)
    floor (83136.5)     		ty = 83136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50240 / 83136 ti = "17/50240/83136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50240/83136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50240 ÷ 217
    50240 ÷ 131072     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83136 ÷ 217
    83136 ÷ 131072     		y = 0.63427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843689433312988))-π/2
    2×atan(0.430120690836426)-π/2
    2×0.406199911258911-π/2
    0.812399822517822-1.57079632675     		φ = -0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50240 KachelY 83136 -0.73324282 -0.75839650 -42.011719 -43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 50241 KachelY 83136 -0.73319488 -0.75839650 -42.008972 -43.452919
    Unten links KachelX 50240 KachelY + 1 83137 -0.73324282 -0.75843130 -42.011719 -43.454913
    Unten rechts KachelX + 1 50241 KachelY + 1 83137 -0.73319488 -0.75843130 -42.008972 -43.454913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75839650--0.75843130) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75839650--0.75843130) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.75839650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 221.720689600114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73319488) × cos(-0.75843130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72591582952343 × 6371000     		du = 221.713379409762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75839650)-sin(-0.75843130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.72591582952343)×R²
    abs(-0.73319488--0.73324282)×2.39344278974984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39344278974984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39344278974984e-05×40589641000000     		ar = 49157.061098697m²