Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50248 / 83016
↖ ↑ ↗
← S 43.213183°
W 41.989746°		 ← 222.60 m → S 43.213183°
W 41.986999°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
S 43.215185°
W 41.989746°		 ← 222.59 m →
49 550 m²		 S 43.215185°
W 41.986999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383365631103516 y=0.633365631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383365631103516 × 217)
    floor (0.383365631103516 × 131072)
    floor (50248.5)     		tx = 50248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633365631103516 × 217)
    floor (0.633365631103516 × 131072)
    floor (83016.5)     		ty = 83016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50248 / 83016 ti = "17/50248/83016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50248/83016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50248 ÷ 217
    50248 ÷ 131072     		x = 0.38336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83016 ÷ 217
    83016 ÷ 131072     		y = 0.63336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73285932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.837937005358582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73285932} λ = -0.73285932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837937005358582))-π/2
    2×atan(0.43260205922615)-π/2
    2×0.408291998973314-π/2
    0.816583997946628-1.57079632675     		φ = -0.75421233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73285932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75421233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.213183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50248 KachelY 83016 -0.73285932 -0.75421233 -41.989746 -43.213183
    Oben rechts KachelX + 1 50249 KachelY 83016 -0.73281138 -0.75421233 -41.986999 -43.213183
    Unten links KachelX 50248 KachelY + 1 83017 -0.73285932 -0.75424727 -41.989746 -43.215185
    Unten rechts KachelX + 1 50249 KachelY + 1 83017 -0.73281138 -0.75424727 -41.986999 -43.215185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75421233--0.75424727) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dl = 222.602740000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75421233--0.75424727) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dr = 222.602740000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73285932--0.73281138) × cos(-0.75421233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728811098533943 × 6371000     		do = 222.597669089796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73285932--0.73281138) × cos(-0.75424727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728787174153322 × 6371000     		du = 222.590361968141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75421233)-sin(-0.75424727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728811098533943-0.728787174153322)×R²
    abs(-0.73281138--0.73285932)×2.39243806207101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39243806207101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39243806207101e-05×40589641000000     		ar = 49550.0377694722m²