Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50304 / 115840
↖ ↑ ↗
← S 79.749932°
W 41.835938°		 ← 54.35 m → S 79.749932°
W 41.833191°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.750421°
W 41.835938°		 ← 54.35 m →
2 954 m²		 S 79.750421°
W 41.833191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383792877197266 y=0.883792877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383792877197266 × 217)
    floor (0.383792877197266 × 131072)
    floor (50304.5)     		tx = 50304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883792877197266 × 217)
    floor (0.883792877197266 × 131072)
    floor (115840.5)     		ty = 115840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50304 / 115840 ti = "17/50304/115840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50304/115840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50304 ÷ 217
    50304 ÷ 131072     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115840 ÷ 217
    115840 ÷ 131072     		y = 0.8837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    -0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4114177984873))-π/2
    2×atan(0.089688044812041)-π/2
    2×0.0894487169274638-π/2
    0.178897433854928-1.57079632675     		φ = -1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50304 KachelY 115840 -0.73017486 -1.39189889 -41.835938 -79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 50305 KachelY 115840 -0.73012692 -1.39189889 -41.833191 -79.749932
    Unten links KachelX 50304 KachelY + 1 115841 -0.73017486 -1.39190742 -41.835938 -79.750421
    Unten rechts KachelX + 1 50305 KachelY + 1 115841 -0.73012692 -1.39190742 -41.833191 -79.750421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39189889--1.39190742) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39189889--1.39190742) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.73012692) × cos(-1.39189889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 54.3488962494114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.73012692) × cos(-1.39190742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177936321100294 × 6371000     		du = 54.3463325448991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39189889)-sin(-1.39190742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.177936321100294)×R²
    abs(-0.73012692--0.73017486)×8.39387182050011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39387182050011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39387182050011e-06×40589641000000     		ar = 2953.5009959437m²