Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50304 / 83071
↖ ↑ ↗
← S 43.323180°
W 41.835938°		 ← 222.20 m → S 43.323180°
W 41.833191°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
S 43.325178°
W 41.835938°		 ← 222.19 m →
49 361 m²		 S 43.325178°
W 41.833191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383792877197266 y=0.633785247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383792877197266 × 217)
    floor (0.383792877197266 × 131072)
    floor (50304.5)     		tx = 50304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633785247802734 × 217)
    floor (0.633785247802734 × 131072)
    floor (83071.5)     		ty = 83071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50304 / 83071 ti = "17/50304/83071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50304/83071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50304 ÷ 217
    50304 ÷ 131072     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83071 ÷ 217
    83071 ÷ 131072     		y = 0.633781433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633781433105469 × 2 - 1) × π
    -0.267562866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.840573534837685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840573534837685))-π/2
    2×atan(0.431462993394432)-π/2
    2×0.407332100288946-π/2
    0.814664200577892-1.57079632675     		φ = -0.75613213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75613213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.323180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50304 KachelY 83071 -0.73017486 -0.75613213 -41.835938 -43.323180
    Oben rechts KachelX + 1 50305 KachelY 83071 -0.73012692 -0.75613213 -41.833191 -43.323180
    Unten links KachelX 50304 KachelY + 1 83072 -0.73017486 -0.75616700 -41.835938 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 50305 KachelY + 1 83072 -0.73012692 -0.75616700 -41.833191 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75613213--0.75616700) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75613213--0.75616700) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.73012692) × cos(-0.75613213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727495240768528 × 6371000     		do = 222.19577225806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.73012692) × cos(-0.75616700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 222.188464888257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75613213)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727495240768528-0.727471315575443)×R²
    abs(-0.73012692--0.73017486)×2.39251930853612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39251930853612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39251930853612e-05×40589641000000     		ar = 49361.4833865901m²