Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50306 / 83074
↖ ↑ ↗
← S 43.329174°
W 41.830444°		 ← 222.17 m → S 43.329174°
W 41.827698°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
S 43.331171°
W 41.830444°		 ← 222.17 m →
49 357 m²		 S 43.331171°
W 41.827698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383808135986328 y=0.633808135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383808135986328 × 217)
    floor (0.383808135986328 × 131072)
    floor (50306.5)     		tx = 50306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633808135986328 × 217)
    floor (0.633808135986328 × 131072)
    floor (83074.5)     		ty = 83074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50306 / 83074 ti = "17/50306/83074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50306/83074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50306 ÷ 217
    50306 ÷ 131072     		x = 0.383804321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83074 ÷ 217
    83074 ÷ 131072     		y = 0.633804321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.232391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73007898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.267608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.840717345536545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73007898} λ = -0.73007898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840717345536545))-π/2
    2×atan(0.431400948861261)-π/2
    2×0.407279792070036-π/2
    0.814559584140072-1.57079632675     		φ = -0.75623674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73007898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.830444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75623674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.329174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50306 KachelY 83074 -0.73007898 -0.75623674 -41.830444 -43.329174
    Oben rechts KachelX + 1 50307 KachelY 83074 -0.73003104 -0.75623674 -41.827698 -43.329174
    Unten links KachelX 50306 KachelY + 1 83075 -0.73007898 -0.75627161 -41.830444 -43.331171
    Unten rechts KachelX + 1 50307 KachelY + 1 83075 -0.73003104 -0.75627161 -41.827698 -43.331171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75623674--0.75627161) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75623674--0.75627161) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73007898--0.73003104) × cos(-0.75623674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.727423462535667 × 6371000     		do = 222.173849338687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73007898--0.73003104) × cos(-0.75627161) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.727399534689035 × 6371000     		du = 222.166541158423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75623674)-sin(-0.75627161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727423462535667-0.727399534689035)×R²
    abs(-0.73003104--0.73007898)×2.39278466321879e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39278466321879e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39278466321879e-05×40589641000000     		ar = 49356.6129717377m²