Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50320 / 83088
↖ ↑ ↗
← S 43.357138°
W 41.791992°		 ← 222.03 m → S 43.357138°
W 41.789246°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 43.359135°
W 41.791992°		 ← 222.02 m →
49 295 m²		 S 43.359135°
W 41.789246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383914947509766 y=0.633914947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383914947509766 × 217)
    floor (0.383914947509766 × 131072)
    floor (50320.5)     		tx = 50320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633914947509766 × 217)
    floor (0.633914947509766 × 131072)
    floor (83088.5)     		ty = 83088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50320 / 83088 ti = "17/50320/83088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50320/83088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50320 ÷ 217
    50320 ÷ 131072     		x = 0.3839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83088 ÷ 217
    83088 ÷ 131072     		y = 0.6339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72940786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841388462131226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72940786} λ = -0.72940786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841388462131226))-π/2
    2×atan(0.43111152565474)-π/2
    2×0.407035755297136-π/2
    0.814071510594273-1.57079632675     		φ = -0.75672482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72940786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75672482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.357138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50320 KachelY 83088 -0.72940786 -0.75672482 -41.791992 -43.357138
    Oben rechts KachelX + 1 50321 KachelY 83088 -0.72935993 -0.75672482 -41.789246 -43.357138
    Unten links KachelX 50320 KachelY + 1 83089 -0.72940786 -0.75675967 -41.791992 -43.359135
    Unten rechts KachelX + 1 50321 KachelY + 1 83089 -0.72935993 -0.75675967 -41.789246 -43.359135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75672482--0.75675967) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75672482--0.75675967) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72940786--0.72935993) × cos(-0.75672482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727088460862169 × 6371000     		do = 222.025208398583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72940786--0.72935993) × cos(-0.75675967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727064534369699 × 6371000     		du = 222.017902156272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75672482)-sin(-0.75675967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727088460862169-0.727064534369699)×R²
    abs(-0.72935993--0.72940786)×2.39264924695171e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39264924695171e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39264924695171e-05×40589641000000     		ar = 49295.3016091636m²