Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 504 / 488
↖ ↑ ↗
← N  8.407168°
W  2.812500°		 ← 38.672 km → N  8.407168°
W  2.460937°		 →
↑
38.689 km
↓
↑
38.689 km
↓
N  8.059230°
W  2.812500°		 ← 38.706 km →
1 496.84 km²		 N  8.059230°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49267578125 y=0.47705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49267578125 × 210)
    floor (0.49267578125 × 1024)
    floor (504.5)     		tx = 504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47705078125 × 210)
    floor (0.47705078125 × 1024)
    floor (488.5)     		ty = 488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 504 / 488 ti = "10/504/488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/504/488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 504 ÷ 210
    504 ÷ 1024     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 488 ÷ 210
    488 ÷ 1024     		y = 0.4765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4765625 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147262155632813))-π/2
    2×atan(1.1586576718538)-π/2
    2×0.858764546007208-π/2
    1.71752909201442-1.57079632675     		φ = 0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 504 KachelY 488 -0.04908739 0.14673277 -2.812500 8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 505 KachelY 488 -0.04295146 0.14673277 -2.460937 8.407168
    Unten links KachelX 504 KachelY + 1 489 -0.04908739 0.14066009 -2.812500 8.059230
    Unten rechts KachelX + 1 505 KachelY + 1 489 -0.04295146 0.14066009 -2.460937 8.059230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14673277-0.14066009) × R
    0.00607268000000002 × 6371000     		dl = 38689.0442800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14673277-0.14066009) × R
    0.00607268000000002 × 6371000     		dr = 38689.0442800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(0.14673277) × R
    0.00613593 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 38671.9291806645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(0.14066009) × R
    0.00613593 × 0.990123669476922 × 6371000     		du = 38705.9244181323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14673277)-sin(0.14066009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.990123669476922)×R²
    abs(-0.04295146--0.04908739)×0.000869621118015029×R²
    0.00613593×0.000869621118015029×6371000²
    0.00613593×0.000869621118015029×40589641000000     		ar = 1496842202.06645m²