Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50431 / 83201
↖ ↑ ↗
← S 43.582380°
W 41.487122°		 ← 221.25 m → S 43.582380°
W 41.484375°		 →
↑
221.26 m
↓
↑
221.26 m
↓
S 43.584370°
W 41.487122°		 ← 221.24 m →
48 953 m²		 S 43.584370°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384761810302734 y=0.634777069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384761810302734 × 217)
    floor (0.384761810302734 × 131072)
    floor (50431.5)     		tx = 50431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634777069091797 × 217)
    floor (0.634777069091797 × 131072)
    floor (83201.5)     		ty = 83201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50431 / 83201 ti = "17/50431/83201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50431/83201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50431 ÷ 217
    50431 ÷ 131072     		x = 0.384757995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83201 ÷ 217
    83201 ÷ 131072     		y = 0.634773254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384757995605469 × 2 - 1) × π
    -0.230484008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.72408687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634773254394531 × 2 - 1) × π
    -0.269546508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.846805331788292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72408687} λ = -0.72408687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846805331788292))-π/2
    2×atan(0.428782564247588)-π/2
    2×0.405070145892023-π/2
    0.810140291784046-1.57079632675     		φ = -0.76065603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72408687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.487122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76065603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.582380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50431 KachelY 83201 -0.72408687 -0.76065603 -41.487122 -43.582380
    Oben rechts KachelX + 1 50432 KachelY 83201 -0.72403893 -0.76065603 -41.484375 -43.582380
    Unten links KachelX 50431 KachelY + 1 83202 -0.72408687 -0.76069076 -41.487122 -43.584370
    Unten rechts KachelX + 1 50432 KachelY + 1 83202 -0.72403893 -0.76069076 -41.484375 -43.584370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76065603--0.76069076) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dl = 221.264829999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76065603--0.76069076) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dr = 221.264829999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72408687--0.72403893) × cos(-0.76065603) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724383901661913 × 6371000     		do = 221.245489209544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72408687--0.72403893) × cos(-0.76069076) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724359958473806 × 6371000     		du = 221.238176343599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76065603)-sin(-0.76069076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724383901661913-0.724359958473806)×R²
    abs(-0.72403893--0.72408687)×2.39431881071672e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39431881071672e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39431881071672e-05×40589641000000     		ar = 48953.0365231979m²