Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50432 / 85248
↖ ↑ ↗
← S 47.517200°
W 41.484375°		 ← 206.28 m → S 47.517200°
W 41.481628°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
S 47.519056°
W 41.484375°		 ← 206.27 m →
42 552 m²		 S 47.519056°
W 41.481628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384769439697266 y=0.650394439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384769439697266 × 217)
    floor (0.384769439697266 × 131072)
    floor (50432.5)     		tx = 50432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650394439697266 × 217)
    floor (0.650394439697266 × 131072)
    floor (85248.5)     		ty = 85248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50432 / 85248 ti = "17/50432/85248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50432/85248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50432 ÷ 217
    50432 ÷ 131072     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85248 ÷ 217
    85248 ÷ 131072     		y = 0.650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650390625 × 2 - 1) × π
    -0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944932165310547))-π/2
    2×atan(0.388705937754025)-π/2
    2×0.370732361652446-π/2
    0.741464723304892-1.57079632675     		φ = -0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50432 KachelY 85248 -0.72403893 -0.82933160 -41.484375 -47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 50433 KachelY 85248 -0.72399099 -0.82933160 -41.481628 -47.517200
    Unten links KachelX 50432 KachelY + 1 85249 -0.72403893 -0.82936398 -41.484375 -47.519056
    Unten rechts KachelX + 1 50433 KachelY + 1 85249 -0.72399099 -0.82936398 -41.481628 -47.519056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82933160--0.82936398) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82933160--0.82936398) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72399099) × cos(-0.82933160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 206.275028526887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72399099) × cos(-0.82936398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675344962649425 × 6371000     		du = 206.267734972338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82933160)-sin(-0.82936398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675344962649425)×R²
    abs(-0.72399099--0.72403893)×2.38799603105022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38799603105022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38799603105022e-05×40589641000000     		ar = 42552.3380335614m²