Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 506 / 538
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W  2.109375°		 ← 38.600 km → S  9.102097°
W  1.757813°		 →
↑
38.581 km
↓
↑
38.581 km
↓
S  9.449062°
W  2.109375°		 ← 38.562 km →
1 488.47 km²		 S  9.449062°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49462890625 y=0.52587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49462890625 × 210)
    floor (0.49462890625 × 1024)
    floor (506.5)     		tx = 506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52587890625 × 210)
    floor (0.52587890625 × 1024)
    floor (538.5)     		ty = 538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 506 / 538 ti = "10/506/538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/506/538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 506 ÷ 210
    506 ÷ 1024     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 538 ÷ 210
    538 ÷ 1024     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 506 KachelY 538 -0.03681554 -0.15886156 -2.109375 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 507 KachelY 538 -0.03067962 -0.15886156 -1.757813 -9.102097
    Unten links KachelX 506 KachelY + 1 539 -0.03681554 -0.16491724 -2.109375 -9.449062
    Unten rechts KachelX + 1 507 KachelY + 1 539 -0.03067962 -0.16491724 -1.757813 -9.449062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.16491724) × R
    0.00605567999999998 × 6371000     		dl = 38580.7372799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.16491724) × R
    0.00605567999999998 × 6371000     		dr = 38580.7372799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03067962) × cos(-0.15886156) × R
    0.00613592 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 38599.7012281603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03067962) × cos(-0.16491724) × R
    0.00613592 × 0.986431945491148 × 6371000     		du = 38561.5446614731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.16491724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.986431945491148)×R²
    abs(-0.03067962--0.03681554)×0.000976072318702781×R²
    0.00613592×0.000976072318702781×6371000²
    0.00613592×0.000976072318702781×40589641000000     		ar = 1488473426.61853m²