Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50687 / 83455
↖ ↑ ↗
← S 44.085612°
W 40.783996°		 ← 219.34 m → S 44.085612°
W 40.781250°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.087585°
W 40.783996°		 ← 219.33 m →
48 113 m²		 S 44.087585°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386714935302734 y=0.636714935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386714935302734 × 217)
    floor (0.386714935302734 × 131072)
    floor (50687.5)     		tx = 50687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636714935302734 × 217)
    floor (0.636714935302734 × 131072)
    floor (83455.5)     		ty = 83455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50687 / 83455 ti = "17/50687/83455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50687/83455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50687 ÷ 217
    50687 ÷ 131072     		x = 0.386711120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83455 ÷ 217
    83455 ÷ 131072     		y = 0.636711120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386711120605469 × 2 - 1) × π
    -0.226577758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.71181502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636711120605469 × 2 - 1) × π
    -0.273422241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.858981304291786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71181502} λ = -0.71181502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858981304291786))-π/2
    2×atan(0.423593375355771)-π/2
    2×0.400678620683415-π/2
    0.801357241366829-1.57079632675     		φ = -0.76943909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71181502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.783996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76943909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.085612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50687 KachelY 83455 -0.71181502 -0.76943909 -40.783996 -44.085612
    Oben rechts KachelX + 1 50688 KachelY 83455 -0.71176709 -0.76943909 -40.781250 -44.085612
    Unten links KachelX 50687 KachelY + 1 83456 -0.71181502 -0.76947352 -40.783996 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 50688 KachelY + 1 83456 -0.71176709 -0.76947352 -40.781250 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76943909--0.76947352) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76943909--0.76947352) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71181502--0.71176709) × cos(-0.76943909) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.718301025872632 × 6371000     		do = 219.341859411176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71181502--0.71176709) × cos(-0.76947352) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 219.334544618305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76943909)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718301025872632-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.71176709--0.71181502)×2.39544938523961e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39544938523961e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39544938523961e-05×40589641000000     		ar = 48112.6088805653m²