Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50696 / 83464
↖ ↑ ↗
← S 44.103366°
W 40.759277°		 ← 219.32 m → S 44.103366°
W 40.756531°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.105338°
W 40.759277°		 ← 219.31 m →
48 094 m²		 S 44.105338°
W 40.756531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386783599853516 y=0.636783599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386783599853516 × 217)
    floor (0.386783599853516 × 131072)
    floor (50696.5)     		tx = 50696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636783599853516 × 217)
    floor (0.636783599853516 × 131072)
    floor (83464.5)     		ty = 83464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50696 / 83464 ti = "17/50696/83464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50696/83464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50696 ÷ 217
    50696 ÷ 131072     		x = 0.38677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83464 ÷ 217
    83464 ÷ 131072     		y = 0.63677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71138359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859412736388367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71138359} λ = -0.71138359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859412736388367))-π/2
    2×atan(0.423410662994566)-π/2
    2×0.400523694878953-π/2
    0.801047389757906-1.57079632675     		φ = -0.76974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71138359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.759277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.103366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50696 KachelY 83464 -0.71138359 -0.76974894 -40.759277 -44.103366
    Oben rechts KachelX + 1 50697 KachelY 83464 -0.71133565 -0.76974894 -40.756531 -44.103366
    Unten links KachelX 50696 KachelY + 1 83465 -0.71138359 -0.76978336 -40.759277 -44.105338
    Unten rechts KachelX + 1 50697 KachelY + 1 83465 -0.71133565 -0.76978336 -40.756531 -44.105338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76974894--0.76978336) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76974894--0.76978336) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71138359--0.71133565) × cos(-0.76974894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718085418696759 × 6371000     		do = 219.321770388524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71138359--0.71133565) × cos(-0.76978336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718061463501049 × 6371000     		du = 219.314453855147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76974894)-sin(-0.76978336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718085418696759-0.718061463501049)×R²
    abs(-0.71133565--0.71138359)×2.39551957103012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39551957103012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39551957103012e-05×40589641000000     		ar = 48094.229334647m²