Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50720 / 81440
↖ ↑ ↗
← S 39.977120°
W 40.693359°		 ← 234 m → S 39.977120°
W 40.690613°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 39.979225°
W 40.693359°		 ← 233.99 m →
54 757 m²		 S 39.979225°
W 40.690613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386966705322266 y=0.621341705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386966705322266 × 217)
    floor (0.386966705322266 × 131072)
    floor (50720.5)     		tx = 50720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621341705322266 × 217)
    floor (0.621341705322266 × 131072)
    floor (81440.5)     		ty = 81440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50720 / 81440 ti = "17/50720/81440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50720/81440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50720 ÷ 217
    50720 ÷ 131072     		x = 0.386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81440 ÷ 217
    81440 ÷ 131072     		y = 0.621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71023310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71023310} λ = -0.71023310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762388451557373))-π/2
    2×atan(0.466550761291126)-π/2
    2×0.436531977814312-π/2
    0.873063955628623-1.57079632675     		φ = -0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71023310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50720 KachelY 81440 -0.71023310 -0.69773237 -40.693359 -39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 50721 KachelY 81440 -0.71018517 -0.69773237 -40.690613 -39.977120
    Unten links KachelX 50720 KachelY + 1 81441 -0.71023310 -0.69776910 -40.693359 -39.979225
    Unten rechts KachelX + 1 50721 KachelY + 1 81441 -0.71018517 -0.69776910 -40.690613 -39.979225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69773237--0.69776910) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69773237--0.69776910) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71023310--0.71018517) × cos(-0.69773237) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 233.999249386201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71023310--0.71018517) × cos(-0.69776910) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766277468054407 × 6371000     		du = 233.992043187955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69773237)-sin(-0.69776910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.766277468054407)×R²
    abs(-0.71018517--0.71023310)×2.35988680262755e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35988680262755e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35988680262755e-05×40589641000000     		ar = 54756.579427649m²