Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50752 / 83520
↖ ↑ ↗
← S 44.213710°
W 40.605469°		 ← 218.87 m → S 44.213710°
W 40.602722°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.215678°
W 40.605469°		 ← 218.86 m →
47 911 m²		 S 44.215678°
W 40.602722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387210845947266 y=0.637210845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387210845947266 × 217)
    floor (0.387210845947266 × 131072)
    floor (50752.5)     		tx = 50752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637210845947266 × 217)
    floor (0.637210845947266 × 131072)
    floor (83520.5)     		ty = 83520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50752 / 83520 ti = "17/50752/83520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50752/83520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50752 ÷ 217
    50752 ÷ 131072     		x = 0.38720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83520 ÷ 217
    83520 ÷ 131072     		y = 0.63720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70869912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70869912} λ = -0.70869912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86209720276709))-π/2
    2×atan(0.422275555565894)-π/2
    2×0.399560757183306-π/2
    0.799121514366612-1.57079632675     		φ = -0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70869912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50752 KachelY 83520 -0.70869912 -0.77167481 -40.605469 -44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 50753 KachelY 83520 -0.70865119 -0.77167481 -40.602722 -44.213710
    Unten links KachelX 50752 KachelY + 1 83521 -0.70869912 -0.77170917 -40.605469 -44.215678
    Unten rechts KachelX + 1 50753 KachelY + 1 83521 -0.70865119 -0.77170917 -40.602722 -44.215678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77167481--0.77170917) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77167481--0.77170917) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70869912--0.70865119) × cos(-0.77167481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 218.866332301483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70869912--0.70865119) × cos(-0.77170917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.716719808122075 × 6371000     		du = 218.859015549501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77167481)-sin(-0.77170917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.716719808122075)×R²
    abs(-0.70865119--0.70869912)×2.39609095519233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39609095519233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39609095519233e-05×40589641000000     		ar = 47910.6939287007m²