Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 508 / 524
↖ ↑ ↗
← S  4.214943°
W  1.406250°		 ← 38.986 km → S  4.214943°
W  1.054688°		 →
↑
38.977 km
↓
↑
38.977 km
↓
S  4.565474°
W  1.406250°		 ← 38.968 km →
1 519.22 km²		 S  4.565474°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49658203125 y=0.51220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49658203125 × 210)
    floor (0.49658203125 × 1024)
    floor (508.5)     		tx = 508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51220703125 × 210)
    floor (0.51220703125 × 1024)
    floor (524.5)     		ty = 524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 508 / 524 ti = "10/508/524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/508/524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 508 ÷ 210
    508 ÷ 1024     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 524 ÷ 210
    524 ÷ 1024     		y = 0.51171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51171875 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(0.929014364635963)-π/2
    2×0.748615845597688-π/2
    1.49723169119538-1.57079632675     		φ = -0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 508 KachelY 524 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 509 KachelY 524 -0.01840777 -0.07356464 -1.054688 -4.214943
    Unten links KachelX 508 KachelY + 1 525 -0.02454369 -0.07968255 -1.406250 -4.565474
    Unten rechts KachelX + 1 509 KachelY + 1 525 -0.01840777 -0.07968255 -1.054688 -4.565474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07356464--0.07968255) × R
    0.00611791 × 6371000     		dl = 38977.20461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07356464--0.07968255) × R
    0.00611791 × 6371000     		dr = 38977.20461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.01840777) × cos(-0.07356464) × R
    0.00613592 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 38986.2159725703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.01840777) × cos(-0.07968255) × R
    0.00613592 × 0.996827024995696 × 6371000     		du = 38967.908551457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07356464)-sin(-0.07968255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.996827024995696)×R²
    abs(-0.01840777--0.02454369)×0.00046831695110372×R²
    0.00613592×0.00046831695110372×6371000²
    0.00613592×0.00046831695110372×40589641000000     		ar = 1519221669.44272m²