Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5088 / 1119
N 78.358282°
E 43.593750°
← 986.05 m → N 78.358282°
E 43.637695°

986.42 m

986.42 m
N 78.349410°
E 43.593750°
← 986.79 m →
973 028 m²
N 78.349410°
E 43.637695°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62115478515625 y=0.13665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62115478515625 × 213)
    floor (0.62115478515625 × 8192)
    floor (5088.5)
    tx = 5088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13665771484375 × 213)
    floor (0.13665771484375 × 8192)
    floor (1119.5)
    ty = 1119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5088 / 1119 ti = "13/5088/1119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5088/1119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5088 ÷ 213
    5088 ÷ 8192
    x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1119 ÷ 213
    1119 ÷ 8192
    y = 0.1365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535
    Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1365966796875 × 2 - 1) × π
    0.726806640625 × 3.1415926535
    Φ = 2.28333040270251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28333040270251))-π/2
    2×atan(9.80929497205443)-π/2
    2×1.46920317015844-π/2
    2.93840634031688-1.57079632675
    φ = 1.36761001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36761001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.358282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5088 KachelY 1119 0.76085447 1.36761001 43.593750 78.358282
    Oben rechts KachelX + 1 5089 KachelY 1119 0.76162146 1.36761001 43.637695 78.358282
    Unten links KachelX 5088 KachelY + 1 1120 0.76085447 1.36745518 43.593750 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 5089 KachelY + 1 1120 0.76162146 1.36745518 43.637695 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.36761001-1.36745518) × R
    0.000154829999999828 × 6371000
    dl = 986.421929998905m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.36761001-1.36745518) × R
    0.000154829999999828 × 6371000
    dr = 986.421929998905m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76162146) × cos(1.36761001) × R
    0.000766990000000023 × 0.201791119602322 × 6371000
    do = 986.050951918363m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76162146) × cos(1.36745518) × R
    0.000766990000000023 × 0.201942762110113 × 6371000
    du = 986.791952015164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.36761001)-sin(1.36745518))×
    abs(λ12)×abs(0.201791119602322-0.201942762110113)×
    abs(0.76162146-0.76085447)×0.0001516425077914×
    0.000766990000000023×0.0001516425077914×6371000²
    0.000766990000000023×0.0001516425077914×40589641000000
    ar = 973027.754386091m²